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By Jost-Hinrich Eschenburg, Jürgen Jost

Das vorliegende Lehrbuch bietet eine moderne Einführung in die Differenzialgeometrie - etwa im Umfang einer einsemestrigen Vorlesung. Zunächst behandelt es die Geometrie von Flächen im Raum. Viele Beispiele schulen Leser in geometrischer Anschauung, deren wichtigste Klasse die Minimalflächen bilden. Zu ihrem Studium entwickeln die Autoren analytische Methoden und lösen in diesem Zusammenhang das Plateausche challenge. Es besteht darin, eine Minimalfläche mit vorgegebener Berandung zu finden. Als Beispiel einer globalen Aussage der Differenzialgeometrie beweisen sie den Bernsteinschen Satz. Weitere Kapitel behandeln die innere Geometrie von Flächen einschließlich des Satzes von Gauss-Bonnet, und stellen die hyperbolische Geometrie ausführlich dar. Die Autoren verknüpfen geometrische Konstruktionen und analytische Methoden und folgen damit einem zentralen development der modernen mathematischen Forschung. Verschiedene geistesgeschichtliche Bemerkungen runden den textual content ab. Die Neuauflage wurde überarbeitet und aktualisiert.

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25) mit einer Konstante p > 0, die den Anstieg der Kegelfl¨ache gegen¨ uber der horizontalen Ebene misst. Hier ist Xu = (eiv , p) und Xv = (iueiv ; 0) und somit guu = 1 + p2 , gvv = u2 und guv = 0. Man sieht also nicht ohne weiteres, dass auch diese Fl¨ ache isometrisch zur Ebene ist. 26) Offensichtlich sind Zylinderfl¨ ache und Torus als Untermannigfaltigkeiten des euklidischen Raumes nicht zur Ebene isometrisch, denn wenn man einmal um den Zylinder oder Torus heruml¨ auft, kommt man zum Ausgangspunkt zur¨ uck, w¨ ahrend man sich in der Ebene l¨ angs einer Geraden immer weiter vom Ausgangspunkt entfernt.

16) δ := (∂/∂s)|s=0 Das Vektorfeld5 δcs heißt das Variationsvektorfeld l¨angs c. 1. 17) a b Beweis: Die Bogenl¨ ange von cs ist L(cs ) = a |cs (t)|dt. Die Ableitung des Integranden ergibt δ|cs | = δ cs , cs = δcs , c /|c | = δcs , c , da |c | = 1. 17) setzt sich also aus zwei Anteilen zusammen: b Der erste Term δcs , c |a wird durch den Winkel zwischen Tangenten- und b Variationsvektor am Anfang und am Ende bestimmt, der zweite a δcs , c 5 Ein Vektorfeld ist vorl¨ aufig einfach eine differenzierbare Funktion von unserem Parameterbereich [a, b] nach Rn .

Die antisymmetriage auf der ersten Nebendiagonalen sche Matrix ( bi , bj ) hat daher nur Eintr¨ oberhalb und unterhalb der Hauptdiagonalen. 39) insbesondere ist κ1 = c , |cc | = |c | = κ. Damit ergeben sich die Frenetschen Gleichungen, die in Matrixform folgendermaßen lauten: ⎛ 0 ⎜ κ1 ⎜ (b1 , . . , bn ) = (b1 , . . , bn ) ⎜ ⎜ ⎝ −κ1 0 .. ⎞ −κ2 .. κn−2 .. 40) also b1 = κ1 b2 , b2 = −κ1 b1 + κ2 b3 , . . , bn = −κn−1 bn−1 . 41) Dies ist eine lineare Differentialgleichung f¨ ur die Matrix B(t) = (b1 (t), .

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