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By V. Smirnov

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Partial differential equations with Fourier series and BVP

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Le nombre de termes. , Considérons l'équation de noyau (85) et son adjointe: , b cp (s) = I(s) 'i> (s) = ) +Â ) K (s, t) cp (t) dt, 1 ~ } g (sH Â l K (t, s) 'i> (t)àt. j k=l YkOk (s), (88) ~ sont des nombres quelconques définis par les égalités b Xk = f ah (t) cp (t) dt; Yk a . b . ) Pk (t) "" (t) dt. a. 48 ~UATIONS CH. 1. LES Donc, toute solution des équations (87) doit être nécessairement de la forme (88) et le problème se ramène non pas à. la recherche de fonctions, mais des nombres Xk et. Yk.

L, Tous les théorèJ;Iles. , , Thé or ème 6;' L,'équation homogène. (60) . et son équation 'adjointe (65) admettent ou bie1t' une seule' solution nulle ou bien des solutions non nulles. ' " 1·10. Cas d'une valeur caractéristique. olution de l'équati()n (42) dans le cas oÙÎ~n'est pas valeur caractéristique. On se'Rropose d'examiner dans ce paragraphe le cas où A est une valeur caractéristique. Supposons que A soit une valeur caractéristique et que l'équation non homogène (42) admette cp (s) pour solution.

L'. 'l'''' ,. ,0 . h .. ( ) _ (S; ... sk_1 sk sk+1··· t' S t' t' 'l'n.. -1 1 ••• s~ :'1 ) . (k = 1, 2, ... , q). +1 ••• q. 1 " 1-12. Equations dégénérées.. Nous allons voir maintenant une classe d'équations intégrales dont la résolution se ramène à celle d'équations algébriques de premier degré. Le noyau K (s, t) est par définition dégénéré s'il se présente sous la forme d'une somme finie de produit de fonctions dépendant uniquement de s par des foné~ tions dépendant uniquement de t, sO,it n J( (s, t) IIC ~ Ph (s) ail (t).

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