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By Martin Hofmann, Martin Lange

Das Buch beschäftigt sich mit der Theorie endlicher Automaten auf endlichen und unendlichen Wörtern sowie Bäumen. Es behandelt klassische Resultate wie die Sätze von Büchi und Rabin, die zeigen, wie sich monadische Logiken 2. Stufe auf diesen Strukturen mithilfe dieser Automatentheorie entscheiden lassen.

Die einzelnen Kapitel sind in vier Teile zusammengefasst. Diese unterscheiden sich in den Strukturen, über denen jeweils Automatentheorie und Logik betrieben wird. Der erste Teil behandelt endliche Wörter. Der Zweite die Theorie auf den Bereich der Bäume auszudehnen. Der dritte Teil beschäftigt sich kurz mit endlichen Bäumen. Im vierten Teil geht es dann um Automatentheorie und Logik über unendliche Bäume.

Jeder Teil endet mit Vorschlägen für Übungsaufgaben zu dem behandelten Stoff, sowie Notizen, welche auf weiterführende Literatur verweisen oder die Herkunft von präsentierten Resultaten erklären. Das Buch ist an sich ein geschlossenes Werk, welches mit den bereits erwähnten Vorkenntnissen zur Theorie formaler Sprachen und zunächst ohne weitere Hilfsmittel durchgearbeitet werden kann.

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Eigentlich hatte der junge Mann nur eine kurze Reise nach Afrika machen wollen, aber dann battle er neunzehn Jahre geblieben. Statt in Uppsala sein Jurastudium zu beenden, übernimmt er in Lusaka die Hühnerfarm einer weißen Engländerin, deren Mann im Busch verschollen ist. Doch nach einem schrecklichen Anschlag auf seine Nachbarn mehren sich die Zeichen, dass die Reformpläne des jungen Mannes gefährliche Gegner haben.

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Eine Sprache L ⊆ Σ ∗ ist regul¨ ar genau dann, wenn sie WMSOdefinierbar ist. Die n¨achste kombiniert dies mit der Tatsache, dass das Leerheitsproblem f¨ ur NFAs entscheidbar ist. 9. Sei ϕ eine Formel und I eine Belegung. Es ist entscheidbar, ob I |= ϕ. 20 2 Schwache, monadische Logik zweiter Stufe ¨ Beweis. Ubung. Wir betrachten noch das existentielle Fragment WEMSO von WMSO. Dies besteht aus allen Formeln, die in positiver Normalform keine universellen, zweitstufigen Quantoren enthalten. B. Pa (y) → X(y)) → Pb (x) jedoch nicht, weil die Quantifizierung u ¨ber X dort auf der linken Seite der Implikation steht und somit eigentlich eine universelle Quantifizierung ist.

Dann ist dies—aufgefasst als Baum mit Wurzel q0 und Blatt qn —auch ein Lauf von A′ auf w. Beachte, dass δ ′ (q, a) f¨ ur jedes q ∈ Q und jedes a ∈ Σ ein Modell der Gr¨ oße 1 hat. Da aufgrund der Akzeptanz von A nun qn ∈ F sein muss, sind auch alle Bl¨atter dieses Baumlaufs mit Endzust¨anden beschriftet. “⊆” Da in der Transitionstabelle von A′ nur Disjunktionen und keine Konjunktionen vorkommen, gilt, dass es f¨ ur jedes q ∈ Q und jedes a ∈ Σ eine Menge M ⊆ Q gibt, so dass M |= δ(q, a) und |M | = 1.

Beweis. Ubung. Der Satz von Ehrenfeucht und Fra¨ıss´e besagt, dass ein Spiel Gk (u, v) von Duplicator genau dann gewonnen wird, wenn u und v durch FO-Formeln mit Quantorentiefe h¨ochstens k nicht zu unterscheiden sind. Wenn bis auf weiteres von Formeln die Rede ist, so sind immer FO-Formeln u ¨ber der Signatur Pa (x) f¨ ur a ∈ Σ und x < y gemeint. Beachte, dass Formeln der Form x = y durch < definierbar sind, ohne die Quantorentiefe zu erh¨ohen. Wir fixieren ein Alphabet Σ und betrachten erststufige Formeln, deren freie zweitstufige Variablen der Menge {Pa | a ∈ Σ} entstammen.

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