By Yung-Kai Lai, C.-C. Jay Kuo, Jin Li
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Partial differential equations with Fourier series and BVP
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Analog erhält man die tiefen Frequenzanteile der Koeffizienten c0,0 (m) durch Hochpassfilterung der Koeffizienten c1,1 (m). Dies lässt sich auf alle Knoten verallgemeinern, welche die hohen Frequenzanteile ihres übergeordneten Knotens darstellen. 7 (Wavelet-Packet-Koeffizienten eines Chirp-Signals) Es wird nun anhand eines linearen Chirp-Signals gezeigt, dass die vorgestellte Vertauschung der Tiefpass- und Hochpassfilter korrekt ist. Ein lineares ChirpSignal ist eine Kosinusschwingung, deren Frequenz linear mit der Zeit anwächst.
Wird beispielsweise die Folge der Eingangskoeffizienten c0 (m) um einen Koeffizienten verschoben, so sind die Koeffizienten der folgenden Stufen vollkommen andere als ohne Verschiebung, da die Downsampling-Operation der ersten Stufe gerade diejenigen Koeffizienten behält, die sie ohne Verschiebung verworfen hätte. Werden die Eingangskoeffizienten um zwei verschoben, so verschieben sich die Koeffizienten c1 (m) bzw. d1 (m) um eins, die Koeffizienten aller weiteren Stufen sind aber wiederum völlig verschieden.
2 Kurzzeit-Fourier-Transformation Am Anfang diesen Kapitels wurde festgestellt, dass die Fourier-Transformation das Innenprodukt des zu analysierenden Signals x(t) mit komplexen harmonischen Schwingungen berechnet. 1 stellen diese komplexen Schwingungen also die Menge der Basisfunktionen dar, bezüglich derer das Signal analysiert wird. Wie bereits erwähnt, stellt die unendliche Ausbreitung im Zeitbereich ein Problem bei der Analyse nichtstationärer Signale dar. Es liegt also nahe, das Problem dadurch zu lösen, indem man die Basisfunktionen zeitlich begrenzt.